Поиск

Задача 19. Курс

Описание:
Именно 19 - это та задача, за которую можно получить бесценные баллы, решив только пункты а и б почти без знаний формул и мат нюансов. Логика, глаза и здравый смысл - все, что вам необходимо. Мы предоставляем курс, где от и до объясним, как мыслить, чтобы дойти до правильного ответа. Вы НЕ услышите в данном курсе: «Ну, возьмем такую последовательность, и вауля — набор чисел с нужными свойствами найден». Откуда он взят, с потолка? С ЕГЭМастер вы получите подробную карту, как добраться до такой последовательности, как правильно рассуждать и начинать решение, от каких попыток действий и в какой момент нужно отказаться (например в переборах). Узнаете, по каким принципам создаются подобные задания, и поймете, как должно строиться ваше решение. Вас ждут все основные типы задач, понимание логики которых сделают 19-ю реальной и принесут 2-4 балла на экзамене.
Результат:
Умение понимать условие и начинать осмысленное рассуждение по нему. Умение приводить примеры в пункте а. Понимание, с чего начинать доказательство пункта б и как его довести до логического завершения. Ознакомление с доказательствами пункта в и, в зависимости от вашего уровня подготовки, умение проводить рассуждения, приводящие к требуемым в задаче выводам. Ясное понимание структуры мыслительного процесса в подобных задачах.
И конечно, счастье от возможности получить на экзамене 4 первичных балла, которые полагаются за эту задачу.

Урок 0 ⬇

Условие задачи:

Будем называть четырехзначное число интересным, если среди четырех цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трех других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырехзначных чисел, разность между которыми равна пяти.

б) Найдутся ли два интересных четырехзначных числа, разность между которыми равна 91?

в) Найдите наименьшее нечётное число, для которого не существует кратного ему интересного четырехзначного числа.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 1 ⬇

Условие задачи:

На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел равна 810.

а) Может ли на доске быть ровно 24 четных числа?

б) Могут ли ровно два числа на доске оканчиваться на 7?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 7, может быть на доске?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 2 ⬇

Условие задачи:

На доске написаны числа $a_1, a_2, …, а_n$, каждое из которых не меньше 50, но не больше 150. Каждое из чисел $a_i$ уменьшили на $r_i %$. При этом для каждого $i$ $(1\leqslant i \leqslant n)$ либо $r_i$ равно 2, либо $a_i$ уменьшилось на 2.

а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, ...,r_n$ ,быть равным 5?

б) Может ли оказаться, что среднее арифметическое чисел $r_1, r_2, ...,r_n$ больше 2, а сумма чисел $a_1, a_2, …, а_n$ уменьшилась более чем на $2n$?

в) Пусть на доске написано 30 чисел, сумма которых уменьшилась на 40. Найдите наибольшее значение среднего арифметического $r_1, r_2, ...,r_{30}$.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 3 ⬇

Условие задачи:

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по , то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 4 ⬇

Условие задачи:

а) Приведите пример такого натурального числа $n$, что числа $n^2$ и $(n+16)^2$ дают одинаковый остаток при делении на 200.

б) Сколько существует трехзначных чисел $n$ с указанным в пункте а) свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел $m$, для каждого из которых существует ровно 36 трехзначных чисел $n$, таких, что $n^2$ и $(n+m)^2$ дают одинаковый остаток при делении на 200?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 5 ⬇

Условие задачи:

Из 40 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, ..., 79 выбрали 7 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ - четвертое по величине среди этих чисел, а $B$ - среднее арифметическое выбранных семи чисел.

а) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{2}{7}$?

б) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{3}{7}$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $B-A$.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 6 ⬇

Условие задачи:

Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чиел этого набора меньше суммы любых трех различных чисел этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 3000?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 16?

в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 7 ⬇

Условие задачи:

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, …, а_n, …$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, …, a_7$ ровно три числа делятся на 100?

б) Сущестует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, …, a_{49}$ ровно 11 чисел делятся на 100?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел $a_1, a_2, …, a_{2n}$ больше кратных 100, чем среди чисел $a_{2n+1}, a_{2n+2}, …, a_{5n}$?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 8 ⬇

Условие задачи:

Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, …, а_n, …$ и $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}$ и $\dfrac{a_4}{b_4}$ - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{b_2}{a_2}$ и $\dfrac{a_4}{b_4}$ -различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\dfrac{a_2}{b_2}$, если известно, что $\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}$ и $\dfrac{a_{10}}{b_{10}}$ - различные натуральные числа?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 9 ⬇

Условие задачи:

Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 10 ⬇

Условие задачи:

Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) Является ли множество $\{200;201;202;...;299\}$ хорошим?

б) Является ли множество $\{2;4;8;...;2^{100}\}$ хорошим?

в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества $\{1;2;4;5;7;9;11\}$?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 0. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Будем называть четырехзначное число интересным, если среди четырех цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трех других из них. Например, интересным является число 6321.

а) Приведите пример двух интересных четырехзначных чисел, разность между которыми равна трём.

б) Найдутся ли два интересных четырехзначных числа, разность между которыми равна 111?

в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырехзначного числа.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 1. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.

а) Может ли оказаться, что на доске написано число 240?

б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 16?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 16, может быть на доске?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 2. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 3. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Покажите, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше

а) 99

б) 101

в) 100.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 4. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

а) Приведите пример такого натурального числа $n$, что числа $n^2$ и $(n+24)^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100.

б) Сколько существует трехзначных чисел $n$ с указанным в пункте а) свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел $m$, для каждого из которых существует ровно 36 трехзначных чисел $n$, таких, что $n^2$ и $(n+m)^2$ дают одинаковый остаток при делении на 100?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 5. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Из 25 последовательных нечётных чисел 1, 3, 5, ..., 49 выбрали 9 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ - пятое по величине среди этих чисел, а $B$ -среднее арифметическое выбранных девяти чисел.

а) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{1}{9}$?

б) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{2}{9}$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $B-A$.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 6. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Про некоторый набор, состоящий из 15 различных натуральных чисел, известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трех различных чисел этого набора.

а) Может ли одним из этих чисел быть число 2015?

б) Может ли одним из этих чисел быть число 24?

в) Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма чисел такого набора?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 7. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, …, а_n, …$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, …, a_7$ ровно три числа делятся на 36?

б) Сущестует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, …, a_{30}$ ровно 9 чисел делятся на 36?

в) Для какого наибольшего натурального n могло оказаться так, что среди чисел $a_1, a_2, …, a_{2n}$ больше кратных 36, чем среди чисел $a_{2n+1}, a_{2n+2}, …, a_{5n}$?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 8. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Возрастающие арифметические прогрессии $a_1, a_2, …, а_n, …$ и $b_1, b_2, …, b_n, …$ состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + a_3b_3 = 3a_2b_2$ - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых $a_1b_1 + 2a_4b_4 = 3a_3b_3$ - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать произведение $a_3b_3$, если $a_1b_1+2a_4b_4 \leqslant 300$ - различные натуральные числа?

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 9. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. (Например, число 16 заменили на число 61)

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Перейти к разбору задачи >>

 

Урок 10. Домашняя задача ⬇

Условие задачи:

Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 63 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудным, было принято решение всем участникам теста добавить по 4 балла, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 70, средний балл участников, сдавших тест, составил 80, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 55. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 82, а не сдавших тест - 58. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Перейти к разбору задачи >>